確率1%のガチャを100回引いても、狙いのキャラが引ける確率は約63%!?

今回はコーヒーブレイク的な「コラム」記事となります。

ハマり出すと止まらなくなる、ソシャゲなどのガチャの闇?沼?を確率を勉強しながら体感してみましょう。

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コラム記事ですが、問題に挑戦!

タイトルにも書いたとおり、今回は確率1%のガチャを考えます。

次の問題をご覧ください。

確率1%のガチャを数学的に考える問題

最近は確率表記ありのソシャゲガチャも多くなってきましたが、最上位のキャラの排出率が1%という渋~い設定もけっこうあります。

今回の問題の設定も、狙いは排出率1%のレアキャラ(SSRってとこですかね)で、100連で少なくとも一体は欲しいといった感じです。

排出率が1%なら、100連くらいすればなんとか出るだろう!」と甘い考えで課金すると、痛い目を見ることもしばしば。

また、「そもそも排出率1%って100回に1回出るということだから、100連して出る確率は100%じゃない?」と思う方もいるのではないでしょうか。

まことに残念ながらそれは間違いで、100連で引ける確率は約63%しかありません。

では、この値を算出してみましょう!

通常のガチャ(非ボックスガチャ)は反復試行!

まず、ボックスガチャ(後述)ではない、通常のガチャを考えます。

通常のガチャのイメージは、「箱の中に100個のくじが入っていて、その中の1個だけが当たりであり、くじを引く際は、引いたくじを箱に戻してから次を引く」というものです。

「引いたくじを箱に戻す」というのがミソで、くじを引くときは箱の中に常に100個のくじが入っていることになり、当たりを引ける確率、つまり排出率はいつも1%です。

このような事象を反復試行の確率といいます。

通常のガチャを数学的に考える際のイメージ図

さて、この場合の100回引いたときにお目当てのキャラが少なくとも1体引ける確率は、直接算出するのが困難です。

なぜならば、少なくとも1体、つまり1体以上引ける確率を考えるので、ちょうど1体引ける場合、2体引ける場合、3体引ける場合、、、100体引ける場合と場合分けを行う必要があるからです。

(確率1%を100回で3体でも出せれば十分神引きだと思いますが。。。)

余事象の使いどころ

一般に、このように直接計算しにくい確率は、「余事象」を使って求めます。

それでは「余事象」について、いつものように単語カードにポイントをまとめます。

余事象を思いつくためのポイントその1

「少なくとも」があれば余事象を使う

今回の例では、「1体も引けない確率」を1から引くことで、少なくとも1体引ける確率を求めます。

式はシンプルで、次のとおりです。

余事象を使ってガチャの確率を求める

このように約63%と求めることができました!

100乗の計算は、関数電卓やエクセルで簡単に計算できます。

ちなみに、この確率を直接求める場合は、反復試行の確率の公式を用いて次のように計算します。

ご参考までに。

下に行くにつれ、確率はどんどん小さくなっていきますね。

最後の、ちょうど100回出る確率はあまりにも小さいので書きませんでした。。。

ボックスガチャの場合

それでは次に、ボックスガチャの場合を考えてみます。

先の箱とくじの例で例えると、ボックスガチャでは引いたくじを元に戻しません。

ボックスガチャを数学的に考える際のイメージ図

このケースでは、確率の推移は次のようになります。

  1. 1回目引くときは、箱に100個のくじがある中に当たりが1個あり、当たりを引ける確率は1/100(1%)。
  2. 2回目引くときは、箱に99個のくじがある中に当たりが1個あり、当たりを引ける確率は1/99(1.01%)。
  3. 3回目引くときは、箱に98個のくじがある中に当たりが1個あり、当たりを引ける確率は1/98(1.02%)。

という風に、当たる確率が少しずつ増えていき、100回引くと箱の中身がゼロになるので、どこかで必ず当たりが引けます。

運が良ければ早めに引けますし、運が悪いと最後の100回目まで当たりが引けない、ということもあり得ます。

以上がボックスガチャのケースです。

結局、通常ガチャとボックスガチャのどちらがお得なの?

運に自信があり、ロマンを求めるなら通常ガチャ、手堅く行くならボックスガチャ、といったところでしょうか。

通常ガチャの場合、確率は相当低いものの、狙いのキャラを複数体引くことも可能です。

しかし、運が悪いと1体も引けずに失意のまま撤退ということも十分あり得ます。

なにせ約37%(!)の確率で1体も引けないのですから。

一方、ボックスガチャの場合は、100回引けばお目当てのキャラが必ず1体獲得できます。

しかし、(今回のような設定では)獲得できるのは1体のみですので夢はないかな、と思います。

ご自身の運や資金と相談の上、ガチャは楽しく引きましょう!
最後まで読んでいただきありがとうございました!