最大最小問題に相加・相乗平均の関係を応用する方法

難易度:★★★☆
頻出度:★★☆☆

今回は、前回説明した「相加・相乗平均の関係」を「最大最小問題」に応用します。

少し難しい内容ですが、ポイントを押さえれば得点源になりますので、是非最後までお付き合いください。

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【復習】「相加・相乗平均の関係」に気付くためのポイント

まずは前回まとめた「相加・相乗平均の関係」の使いどころについておさらいします。

相加相乗平均の関係に気付くには?

相加相乗平均の関係に気付くためのポイント

このように二つの式が逆数の形にあって、約分して定数が残る場合に「相加・相乗平均の関係」を疑う!のでした。

さて、右辺に定数のみが残ると、左辺の式はその定数以上、ということになりますので、右辺は最小値ということになります。

もし問われている式が左辺にマイナスをかけたものならば、不等号がひっくり返り、右辺は最大値となります。

このような原理で「相加・相乗平均の関係」を「最大最小問題」に応用できるのです。

問題に挑戦!

では以上のことを踏まえて、実際の問題を見てみましょう。

相加相乗平均の関係を最大最小問題に応用する例題

数学IIIまで学習済みの方は、「分数関数の微分積分の問題か!?」と考え始めるかもしれません。

「y = 」などではなく、関数を表す 「f(x) = 」で書いていることがミスリードとなっています。

上で説明した「相加・相乗平均の関係」の使いどころを意識して、次のように考えてみましょう。

相加相乗平均の関係を最大最小問題に応用する例題の考え方

問われているのは最大値ですので、「相加・相乗平均の関係」を逆に使うことになります。

また前回の記事で強調したように、関係式を使う際の条件である「対象となる二つの式が正」ということも必ず確認しましょう。

それがヒントになり、「マイナスでくくる」という式変形にたどり着けるでしょう。

それでは解答です。

<解説>

相加相乗平均の関係を最大最小問題に応用する例題の解答

このように「相加・相乗平均の関係」を使って最大値を求めることができました。

前回も強調したように、等号成立条件は必ず確認するようにしましょう。

最大最小問題の場合、等号が成立してはじめて(右辺が)最大値、最小値と言えますので、等号が成立するような変数の値がちゃんとあることを確認しないと減点となってしまいます。

【まとめ】最大・最小問題に「相加・相乗平均の関係」を応用する手法

以上の内容を凝縮して、今回のポイントとして単語カードにまとめておきますので、是非使える知識として蓄えておいてください。

基本的には不等式の証明の場合と使いどころは同じです。

前回と今回の内容を併せて復習していただき、「相加・相乗平均の関係」をマスターしちゃってください!

相加相乗平均を使って最大最小問題を解くためのポイント

最大最小問題を相加相乗平均で解くためのポイント

今回は以上です。
最後まで読んでいただきありがとうございました!