相加・相乗平均の関係はいつ使う?使いどころを見極めよう!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★★☆

今回は不等式の証明で頻出の「相加・相乗平均の関係」を取り上げます。

式自体を覚えるのはもちろんのこと、その使いどころもしっかり押さえておきましょう。

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「相加・相乗平均の関係」とは

まずは相加・相乗平均の関係の、式のおさらいからです。

いつもどおり単語カードにまとめておきます。

相加相乗平均の関係とは?

相加平均と相乗平均の大小関係

2つの正の数 a、b について、相加平均はいわゆる(算術)平均で、相乗平均は2数の積のルートです。

相加平均は相乗平均以上となり、等号は a = b のときに成り立ちます。

条件 a>0、b>0、および等号成立条件 a = b は必ず確認するようにしましょう。

特に文字が入った不等式では等号成立の条件が重要になることもありますので、等号成立条件の確認はお忘れなきように。

「相加・相乗平均の関係」に気付くためのポイント

さて、この「相加・相乗平均の関係」の使いどころについてもまとめておきます。

相加相乗平均の関係はいつ使うか

相加相乗平均の関係の使いどころ

関係式自体も、うら面上部に小さくですがまとめていますので、数学上級者の方はこちらの単語カードのみで十分(1枚目のカードは不要)です。

このように、元の関係式左辺の分母にある2を右辺にもってくることで、より実用的な式「a+b≧2√ab」となります。

青字で強調したとおり、右辺のルート内で約分ができ、定数のみが残る(文字が消える)ときが使いどころとなります。

つまり逆数の形にある2つの式(項)を見たら、「『相加・相乗平均の関係』が使えるのでは!?」と考えましょう。

逆数の形をみたら相加相乗を思いつこう

問題に挑戦!

では、以上を踏まえて次の例題を解いてみましょう。

相加相乗平均の関係で不等式を証明する例題

とりあえず左辺を展開して、式の形をよく見て方針を考えるのが良いでしょう。

すると逆数の形が見えてきます。

<解説>

解答は次のとおりです。

相加相乗平均の関係で不等式を証明する例題の解答

このように、ab と 4/ab が逆数の形にあり、かけて約分することで定数のみが残ることに注目すれば「相加・相乗平均の関係」に気付くことができます。

繰り返しますが、「相加・相乗平均の関係」をあてはめる2つの数(式)が正であること、そして等号成立条件は必ず確認しましょう!

不等式の証明でこの進め方はNG!

さて、不等式の証明問題で次のように解答を書き出してしまう方がたまにいますが、これはNGです。

相加相乗平均の関係で不等式を証明する例題の間違った解答

証明すべき不等式を変形するのは、成立を前提にしていることになるので、よくありません。

不等式の証明は、(左辺)または(右辺)のみを変形、もしくは(左辺)-(右辺)を変形するようにしましょう。

注意喚起をしたところで、今回は以上となります。

次回は今回取り上げた「相加・相乗平均の関係」を「最大最小問題」に応用します。

次回もよろしくお願いします。

最後まで読んでいただきありがとうございました!