期待値の求め方と注意点を例題を解いて確認しよう

難易度:★★☆☆
頻出度:★★☆☆

前回、確率の大原則「同じものでも区別して考える」を強調しました。

今回ははじめに期待値の求め方を確認します。

そのあとで少し難しめの確率の問題にチャレンジし、確率の基礎を固めましょう!

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期待値の求め方

期待値は平均値ともいい、ある試行で平均してどのくらいの値が出るかを表します。

求め方は次のとおりです。

その試行の結果として定まる変量(値が変わる数)について、

(変量の値)×(その値となる確率)

を変量のとり得るすべての値について計算し、足し合わせる。

言葉で書くとなんだか難解です。

次の例で具体的に見てみましょう。

例えば 1個のサイコロを振るという試行では、変量は「出る目」になります。

変量(出る目)のとり得るすべての値は「1、2、・・・、6」で、それぞれの目が出る確率は1/6なので、出る目の期待値は

(1×1/6)+(2×1/6)+・・・+(6×1/6)= 3.5

と求められます。

イメージとしては、この試行を何度も何度も行ったとき、つまり何回も何回もサイコロを振って、出た目の結果を集計して平均すると、3.5くらいになるということです。

期待値を求めるときは「確率の和」が1を必ず確認しよう!

次に期待値を求めるときの注意点を述べます。

期待値を求める際にはまず、変量のとり得るすべての値(パターン)について、それぞれの確率を計算する必要があります。

このときすべてのパターンを考えているので、確率のみの和は1になるはずです。

なので期待値を求める際は、計算した確率の和が1になることを確認しましょう。

この注意点も含めて、期待値の求め方をまとめておきます。

期待値の求め方

期待値は値と確率をかけて合計したもの

問題に挑戦!

それでは確率の原則を復習しつつ、期待値を求める問題に挑戦してみましょう。

確率の難しめの例題(文字nが入っている)

パッと見た感じでは、少し骨のある問題に見えます。

未知数 n が問題文に含まれていますし、誘導もありません。

例えば「期待値をnの式で表せ」などの誘導があれば多少アプローチしやすいかもしれません。

取っつきづらい問題ですが、丁寧に解き進めて、確率の基礎を固めましょう。

解答はこちら

解答は次のとおりです。

確率の基礎固めの例題の分かりやすい解答

ポイントは、

赤玉・青玉は、見た目は同じでも、確率を計算する際はすべて区別して考えること

赤玉の個数について場合分けし、すべてのパターンを考えること

確率の和が1になっていることを確認すること

n が入っていても臆せず冷静に計算すること

です。

最後の一つは根性論みたいですが、文字が多いと混乱してしまう受験生も多いのが現実です。

テストのときに動揺しないように日頃から丁寧に計算するクセをつけておきましょう。

今回は以上となります。

確率は今後も扱っていきたい分野の一つですので、今後の投稿もお見逃しなく。