気柱の共鳴は端の条件と作図のコツを押さえれば終了!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★☆☆

今回は波動分野から気柱の共鳴を取り上げます。

気柱の共鳴では波の図を正確に描くことが重要ですが、慣れないと少し手間取るかもしれません。

そこでいろいろと覚えることで解決しようとする方が見受けられますが、実は覚えるべきことはほとんどありません。

押さえるべきポイントに加えて作図のコツなどもお伝えしますので、最後まで読んでいただければ幸いです。

スポンサーリンク

気柱の共鳴とは

ペットボトルの口に角度や強さを変えて息を吹き込むと、「ボーー」と大きな音がでるときがありますよね。

これはペットボトル内で、送り込んだ息と反射した息が重なり合い定常波をつくり、中の空気を振動させるからです。

管楽器が音を出す原理も同じです。

このように管内の空気(気柱)が音波を伝え、管の端での反射によって定常波が生じたときに大きな音がでる現象気柱の共鳴と言います。

この「気柱に定常波ができる」というのがミソです。

【確認】定常波とは

定常波についてちょっと復習しておきましょう。

逆向きに進むまったく同じ2つの波が重なることで生じる、どちらにも進まずその場で振動する波のことを定常波と呼びます。

定常波をつくる簡単な方法は、波の反射を利用することです。

連続的に入射する波が反射点で反射(自由端または固定端反射)し、入射波と反射波が重なり合うと定常波ができます。

定常波には振幅最大で振動する箇所)と、全く振動しない振幅がゼロである箇所)がありますが、自由端は定常波の腹に、固定端は定常波の節になります。

以上の知識を念頭に置いて、「気柱に定常波ができる条件」を考えていきましょう。

端の条件:開端は自由端、閉端は固定端

はじめに述べたとおり管の端での反射により定常波ができますが、端の条件(自由端か固定端か)を理解して押さえることが最大のポイントとなります。

反射点が自由端になるか固定端になるかは、反射点で媒質が振動できるかどうかで決まります。

それでは管の端で媒質である空気が振動できるかどうか、考えてみましょう。

まずは前提ですが、気柱の共鳴で対象とする波は音波であり、音波は縦波です。

縦波は波の伝わる方向と媒質の振動方向が平行な波でした。

このことを踏まえて次の図をご覧ください。

気柱の共鳴(開端と閉端での反射について、自由端か固定端か)

開いた端(開端)の場合、管内の端にある空気の分子が管の外の空気に押されることで反射が起こりますが、媒質である空気の分子は管の壁がないため自由に振動できます。

よって開端は自由端となります。

一方、閉じた端(閉端)の場合、媒質である空気の分子は管の壁があるので振動できません。

よって閉端は固定端となります。

(伝わる波が横波なら壁があっても振動でき自由端になります。横波は波の伝わる方向と振動方向が垂直だからです。)

これらが端の条件です。

<メモ>
開いた端は、開端、開口、開口端といろいろな名前で呼ばれますが、この記事では簡単に開端としています。
併せて閉じた端は閉端と書いています。
なお、後述の開管、閉管とはきちんと区別しましょう。

例(閉管)

以上のことを踏まえ、具体的に見ていきましょう。

管の端の片方が閉端、他方が開端である管を閉管、管の両端が開いている管(両端が開端である管)を開管と言います。

(文章だとややこしい!でも絵で見ていただければ簡単です。)

まずは閉管の場合の例を次の図で示します。

ここで波の形は縦波を横波表示していることに注意しましょう。

気柱の共鳴(固有振動数、閉管の例)

閉管において、閉端(図の左の端)は固定端開端(図の右の端)は自由端です。

これら端の条件を満たしたときに定常波が生じます。

そこで閉端では振幅がゼロ開端では振幅が最大になるように波を描きます。

最もシンプルな波は1/4波長分が管内に入っている場合で、振動数が最も小さく波長が最も大きいこの振動を基本振動1倍振動ということ)と言います。

次は3/4波長分が管内に入っている場合で、これを3倍振動と言います。

さらに次は5/4波長分が管内に入っている場合で5倍振動、という風に続きます。

このように閉管の場合は奇数倍の振動となります。

端の条件を満たすように波を描いていくだけのことです。)

以上のように気柱に定常波ができたときのみ共鳴するので、共鳴するときの波長、そしてそのときの振動数はとびとびの値となります。

これらは管の長さ L によって決まるので、共鳴するときの振動は固有振動、そのときの振動数は固有振動数呼ばれます。

<注意!>丸暗記はダメ!

よく、n倍振動のときの波長の式やそのときの固有振動数の式を公式として覚えるように教える先生や参考書がありますが、丸暗記には何の意味もありません。

大事なことは、前述のとおり端の条件自由端固定端を納得して押さえておくことです。

これがきちんとできていれば、後はその場で冷静に波の様子を描いて、波長や振動数を計算できます。

公式の丸暗記ではなく、応用がきく覚え方をしておきましょう!

問題に挑戦!

それではここで実際の問題にチャレンジしてみましょう。

閉管に加え開管も登場しますので、是非じっくり考えてみてください。

端の条件を意識して波の形を描くことができれば問題解決ですよ!

気柱の共鳴の例題

<解説>

音源の振動数 f を徐々に大きくしていき、それがそれぞれの管の固有振動数と一致したときに共鳴します。

言い換えると、波長を小さくしていき、管内の波が端の条件を満たしたとき定常波となるときに共鳴します

(1)、(2)ともにどちらの管が共鳴しているのかを把握することが大切です。

そのためには、共鳴するときの管内の定常波の図を正確に描くことが必要です。

閉管Aでは左端が自由端で右端が固定端、開管Bでは左端も右端も自由端となります。

自由端は腹なので振幅が最大になるように、固定端は節なので振幅がゼロになるように図を描きます。

図さえ描ければ、何波長分が管の長さに相当するかを考えることで、簡単に共鳴するときの波長や振動数を計算できます。

(1)ではA、B の基本振動(振動数が最も小さく波長が最も大きい振動)を調べます。

下のように図を描いて波長を計算してみると、AとBの波長が一致します。

つまり f = f1 のとき、AもBも共鳴していると分かります。

後は波の基本式「V=fλ」を用いて波長を振動数に変換すればOKです。

気柱の共鳴の例題の解答(1)

続いて(2)です。

(1)の基本振動の、次の振動の様子を描きます。

(閉管では3倍振動、開管では2倍振動となります。)

が、いきなり管の中に波を描こうとすると混乱してミスをしかねません。

ある振動の次の振動を描くときの作図にはコツがあります

次の腹(山または谷)がくるまで管の外側に波を伸ばして、その後で縮小して管の中に入れると簡単にかつ正確に描くことができます。

(下図を参考にしてください。)

図が描けたら何波長分が管の長さに相当するかを考えて波長を計算します。

Bの方が波長が大きく、より小さい振動数で共鳴すると分かりますから、f = f2 のときに共鳴したのはBだと分かります。

後は(1)同様に波の基本式「V =fλ」を用いて波長から振動数を求めれば終わりです。

気柱の共鳴の例題の解答(2)

【補足】開口端補正

問題文の中で出てきた開口端補正について少し補足します。

(開端補正とは言いませんが、口端補正や管口補正と言う場合があります。)

開端での自由端反射は管の端から少し外側で起こることが知られています。

この距離を開口端補正と言います。

気柱の共鳴(開口端補正について)

開口端補正は管の太さによって決まります。

管半径を r とすれば約 0.65r となりますが、覚える必要はありません。

開口端補正は無視する問題が多いですが、「考慮せよ」と言われても特に難しいことはありません。

腹の位置が開口端補正分だけ外にずれるというだけですので、開口端補正分だけ管が伸びたと思えば良いでしょう。

管の本当の長さを L、開口端補正を Δl とすれば、閉管なら管の長さを L+Δl、開管なら管の長さを L+2Δl と考えます。

気柱の疎密

まとめの前にもう一点だけお話しさせてください。

気柱の共鳴では音波の定常波を考えますが、前述のように音波は縦波なので疎密が生じます

しかし気柱の疎密について新しく覚えることは何もありません。

先ほど紹介した次のリンク先の記事で縦波の疎密の判定方法を書いていますので、不安な方は是非参考にしてみてください。

ミソ」で疎密を一瞬のうちに判断できるのでした!

かいつまんで説明すると、(気柱にできる)定常波の腹の位置は常に平均の密度となり、節の位置は「ミソ」が半周期ごとに入れかわるので、半周期ごとに疎→密→疎→密と繰り返します。

このことさえ分かっていれば大丈夫です。

まとめ

最後に気柱の共鳴のまとめです。

まとめと言ってもポイントは次のことだけでした。

気柱の共鳴のポイント(1)

気柱の共鳴のポイント(2)(開端は自由端、閉端は固定端)

この端の条件さえ押さえておけば、後は問題ごとにこれを守って図を描いて臨機応変に考えるだけです。

丸暗記は必要ありません。

といったところで今回は以上です。

長い記事でしたが、最後までお付き合いいただきありがとうございました!