自由落下を公式なしで簡単に解く方法

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★☆☆

今回は力学の序盤ででてくる自由落下について解説します。

自由落下は等加速度直線運動の一種なので、等加速度直線運動の公式で解かれることが多いですが、正直なところあまりオススメしません。

今回はより本質的に、かつより楽しく解くことができる解法を紹介します。

基本中の基本からじっくり解説しますので、是非最後までお付き合いください。

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自由落下は初速度ゼロ

自由落下とはその名のとおり、物体を自由に落下させる運動です。

この「自由に」というのは、「初速度をつけずに」という意味です。

なので物体を持った手を離せば自由落下をスタートできます。

自由落下中の運動方程式と加速度

次に自由落下中の物体が受ける力、そして運動方程式はどうなるのか説明します。

普通は空気抵抗を無視しますので、自由落下中の物体が受ける力は重力のみです。

※空気抵抗を考慮する場合については次の記事をご参照ください。

重力の働く向き、そして物体の落下する向きは共に鉛直下向きなので、鉛直下向きを正方向とし運動方程式を立てます。

物体の質量を m[kg]、重力加速度を g[m/s2]とすれば、運動方程式は ma = mg となります。

したがって加速度 a は g で一定、つまり等加速度直線運動となるわけです。

等加速度直線運動の公式を使うのもありだが

このように自由落下は等加速度直線運動の一種なので、等加速度直線運動の公式を適用することができます。

この公式は物理で最初に習う公式ですが、これが使いにくいせいで、多くの方が物理を嫌いになってしまいます。

そんな公式はいっそ捨ててしまいましょう!

※一応次の記事で詳しく解説しています。

自由落下には v-tグラフ を使うのが有効

ではどうするかと言うと、v-tグラフ を使うのが非常に分かりやすくオススメです。

v-tグラフ について詳しくは次の記事でご確認いただければと思います。

ポイントをかいつまんで説明すると、v-tグラフ の傾きが加速度面積(積分値、つまりグラフと横軸でつくる部分の面積)が変位(位置の変化)になるのでした。

v-tグラフのこの性質は、時刻・位置・速度・加速度という運動の4大重要要素の関係に基づく本質的なものです。

このことを使うと自由落下の問題は面白いように簡単に解くことができます。

問題に挑戦!

それでは実際に例題を解きながら、v-tグラフ の威力を説明しましょう。

妙に長い公式を覚えることなく、グラフで視覚的に解けることを実感していただきたいと思います。

問題

高さ 19.6 m のビルの屋上から小物体を自由落下させた。
地面に衝突するまでの時間[s]と地面に衝突する直前の速さ[m/s]を求めよ。
重力加速度は 9.8 m/s2 とする。

<解説>

自由落下の例題の解答

図が与えられていない文章題ですし、まずは図を描いて状況をイメージしましょう。

公式で解こうと思っているとすぐに公式を書いて値を代入したくなりますが、それが物理が嫌われる元だと思います。

物理では図が命!

まずは問題の設定を図にして視覚的に理解することが大事です。

このような簡単な問題でもこの姿勢を忘れずに図を描くことを怠らないことで、自分なりの図を描く習慣をつけることが大切です。

ここで1つ大事なことですが、図を描く際には正方向と座標軸をつくっておくのが鉄則です。

この問題では上で述べたように鉛直下向きを正として x軸 をとり、ビルの屋上を原点とします。

つまり初期位置が 0 ということです。

図で状況をイメージできたら、早速 v-tグラフ を描いてみましょう。

縦軸に v[m/s]、横軸に t[s] と書き、原点に 0 と書いたら準備はOK。

自由落下では落下させるときに初速度を付けないので、t = 0 で v0 = 0 となります。

つまり原点がスタートです。

そして v-tグラフ の傾きが加速度であることを思い出しましょう。

前述のとおり自由落下時の加速度は g で一定なので、グラフは傾き g の直線になります。

まとめると、自由落下の v-tグラフ は原点を通る傾き g の直線ということです。

このグラフが描ければあと一歩です。

時刻 t1 で地面に到達するとし、このときの速さを v1 とすれば、グラフより①式が即座に成り立ちます。

さらに v-tグラフ の面積が変位でしたので、グラフでグレーに塗った三角形の面積が変位(落下距離 h)となります。

これは②式で計算されます。

あとは①式と②式を連立することで t1v1 を求めることができます。

さて、①式と②式を見て、等加速度直線運動の公式と同じだということに気付かれたと思います。

すると「結局公式と同じ式を立てるならグラフを描くだけ手間じゃないか」と思われるかもしれません。

しかし暗記した公式に単に数値を当てはめて解くことと、本質的な v-tグラフ の性質を理解&利用して解くことは全く違うことであり、後者の方が絶対応用がききます

よく言われることではありますが、やはり公式の丸暗記には意味がありません。

まとめ

ここまでお疲れさまでした。

最後に自由落下のポイントをまとめておきましょう。

鉛直下向きを正とすれば、自由落下は初速度 0、加速度 g の等加速度直線運動です。

そして自由落下の問題を解く際は、等加速度直線運動の公式よりも v-tグラフ を使う方がベターです。

以上のことを次のように単語カードにまとめておきます。

なお v-tグラフ の形状は覚えることではありません。

自由落下に限らず、問題に合わせてどんな v-tグラフ になるのか、その場で臨機応変に考えることが重要です。

自由落下のポイントまとめ(1)

自由落下のポイントまとめ(2)

ということで今回は自由落下について解説しました。

少しでも皆さんの参考になれば幸いです。

最後までお付き合いいただきありがとうございました!