水平投射の問題を公式を使わずに解いちゃおう!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★☆☆

今回は物理の力学分野から、水平投射について解説したいと思います。

落体の運動の中ではほんの少し難易度が高めですが、冷静に着実に考えていけば必ず攻略できます。

今回もこれでもかというくらい初歩的なところからはじめて、例題の解説、ポイントのまとめまでもっていきます。

なお途中で関連記事をいくつか紹介しますので、お時間がある方は併せてお読みいただければ幸いです。

それではまずは言葉の定義からいきましょう!

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水平投射とは

水平投射とは高い位置から水平に(真横に)物体を投げることを指し、投げられた後の物体の運動を考えることになります。

類似の運動として、高い位置から物体を初速度ゼロで落とす自由落下、同じく高い位置から鉛直下方向に物体を投げ下ろす鉛直投げ下ろしがありますが、これらとの決定的な違いは、水平投射は二次元的な運動という点です。

自由落下や鉛直投げ下ろしに関しては、物体の運動方向として鉛直方向のみを考えれば事が足りますが、水平投射は鉛直方向に加えて水平方向にも物体が運動するので、少し難易度が上がります。

と言っても、鉛直方向と水平方向は別々に考えれば良いので、慣れてしまえば簡単です。

この点については次の項で詳しく説明します。

※自由落下、鉛直投げ下ろしについてはこちら↓

水平投射の運動方程式と加速度

前述のとおり水平投射では、鉛直方向と水平方向の運動を別個に考えます。

ここではそれぞれの方向の運動について詳しく説明していきます。

鉛直方向は自由落下

鉛直投げ下ろしでは鉛直下方向に初速度をつけますが、水平投射では水平方向にのみ初速度をつけます。

つまり鉛直方向の初速度はゼロです。

また投射された後の物体に働く鉛直方向の力は(空気抵抗を無視する場合)重力のみです。

よって鉛直下向きを正とすれば、鉛直方向の運動方程式は ma = mg(m は物体の質量[kg]、g は重力加速度[m/s2])となります。

この式の両辺を m(≠0)で割れば、加速度 a は g(一定)となります(等加速度直線運動)。

以上をまとめると、水平投射の鉛直方向の運動は初速度ゼロ、加速度 gということになりますが、これは自由落下そのものです。

自由落下については先ほどリンクを示した記事で、超便利な解法である「v-tグラフの利用」を紹介しました。

簡単におさらいすると v-tグラフの傾きが加速度、面積が変位でした。

このことを使えば、自由落下、つまり水平投射の鉛直方向の運動は簡単に解析できますよ!

是非後の例題で確認してみてください。

水平方向は等速直線運動

さて水平投射の水平方向の運動は、鉛直方向と比べると至極簡単です。

投射された後の物体にかかる水平方向の力はありません(空気抵抗は無視)。

よって水平方向の運動方程式は ma=0、加速度 a はゼロとなります。

加速度がゼロということは水平方向には減速も加速もしないということで、投射したときの初速度のまま一定の等速直線運動となります。

問題に挑戦!

それでは以上のことを踏まえて、水平投射の実際の問題を見てみましょう。

求めるのは地面に到達するときの速さで、よくある問題です。

空気抵抗は無視してくださいね。

水平投射の例題

<解答>

水平投射の例題の解答

物理お得意の文字で考え、そして答える問題です。

力学的エネルギー保存則を用いればもっと簡単に解けますが、ここまで述べてきた鉛直方向と水平方向に分けて解く方法でいきましょう。

まずは投射した位置を原点として、鉛直下方向に y軸、水平方向(投射方向)に x軸 をとります。

そして物体が地面に到達する時刻を t1 [s]、このときの鉛直方向の速度を vy1 [m/s]、求める速さを v [m/s] と文字でおいておきましょう。

x方向は初速度 vx0 のままの等速直線運動なので、新たに文字を設定する必要はありません。

問題は鉛直方向ですが、等加速度直線運動の公式は使わずに v-tグラフ を活用していきます。

自由落下同様に v-tグラフ は原点を通る傾き g の直線になります。

そして直線がつくる面積(積分値)が変位なので、時刻 t1 までの面積が物体の落下距離、つまりビルの高さ h です。

この v-tグラフ さえ描ければ、上図の右下に書いた2つの式がただちに立式でき、vy1gh で表すことができます。

ここまでくればあと一息ですが、最後は少しテクニックが必要です。

別々に考えてきた鉛直方向と水平方向を合体させます。

図中左下に示したように、物体が地面に到達したときの速さ vvy1vx0 を使って三平方の定理で求められます。

<補足>

vvy1vx0 が分かりましたので、数学の三角関数の知識を使うことにより、物体が地面に衝突するときの角度を求めることができます。

もし角度を問われたら、どこの角度を聞かれているのかに注意して、落ち着いて三角関数を計算しましょう。

また vx0t1 をかければ、水平方向の移動距離 L [m] も求められます。

水平投射のポイントのまとめ

ここまでお疲れさまでした。

最後に水平投射のポイントをシンプルに単語カードにまとめておきます。

鉛直方向は自由落下で、v-tグラフ が有効水平方向は等速直線運動でした。

水平投射のポイントまとめ(1)

水平投射のポイントまとめ(2)

今回はここまでです。

最後まで読んでいただきありがとうございました!