三角関数の極限と言えばコレ!sin の公式を使いこなそう!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★★☆

今回は数学IIIの極限の分野から、三角関数の極限の問題を扱います。

有名な「sin の極限の公式」の使い方を例題で詳しく解説します。

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問題に挑戦!

早速例題を見てみましょう。

三角関数の極限の公式を使う例題

<解説>

三角関数の極限といえば次の公式が頼りです。

三角関数の極限の公式

しかしながら、標準レベル以上の問題ではこの形でそのまま使えることは少ないです。

三角関数の極限には、このまとめ方が効く!

そこで次の単語カードにまとめたように公式の使い方を押さえておきましょう。

三角関数の極限の公式の使い方のまとめ(1)

三角関数の極限の公式の使い方のまとめ(2)

このように、lim 内の「分母」と「分子の sin の中身」を同じ形にすることが最大のポイントです。

それではこのポイントを意識しつつ、解答を見てみましょう。

まずは変数の置き換えからスタートします。

公式は「→ 0」で使えるので、「→ 0」になるように「x – π/2 = θ」と置きます。

その後 lim 内の分子を綺麗にしたら、「分子の sin の中身」と同じになるように「分母」に 2 を掛けます。

(もちろん帳尻合わせで「分子」にも 2 を掛けることを忘れずに)

後は公式を使ってフィニッシュです。

三角関数の極限の公式を使う例題の解答

三角関数の極限の問題は大体このパターンで解けますので、この例題で使ったような式変形を覚えておくと得点源になりますよ!

なお、公式が使えない問題は次回解説します。

変数の置き換えで変域が変わる!

さて、解答のはじめで「変数の置き換え」を行いましたが、「変数の置き換え」に関する一般的な注意点を強調しておきたいと思います。

注意点はずばり、変数を置き換えると変域も変わる、ということです。

本問でも変数を x から θ に置き換えましたが、「x → π/2」から「θ → 0」と変域(この場合は極限値)が変わりました。

極限の問題に限らず、数学では変数の置き換えを行うことがしょっちゅうありますので、この注意点を必ず押さえておいていただきたいと思います。

数学の勉強では問題をひたすら解くだけでなく、このような「心構え」を体に染み込ませることも非常に重要です。

といったところで今回は以上です。

最後までお付き合いいただきありがとうございました!