三角関数の極限の公式が使えないときは【はさみうちの原理】で対抗!

難易度:★★☆☆
頻出度:★☆☆☆

前回は三角関数の極限について、ポイントとなる公式をまとめ、それを用いて標準的な問題を解説しました。

今回は三角関数の極限の公式が使えない問題を解説したいと思います。

タイトルのとおり、はさみうちの原理が有効です。

はさみうちの原理は、極限値を求めたい式を不等式ではさみ、両側が同じ極限値に収束することを示すことで、その極限値を答えとする解法です。

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問題に挑戦!

次の問題で三角関数の極限にはさみうちの原理を応用する方法を解説していきます。

三角関数の極限の公式が使えない例題

本問では置き換え等を使っても公式が使える形に持ち込むことはできません。

そこではさみうちの原理の出番ですが、肝となる不等式はどのようにつくるのでしょうか。

<解答>

それでは解答です。

三角関数の極限の公式が使えない例題の解答

このように、三角関数(sin、cos)はその値域が -1 から 1 なので、これを不等式としはさみうちの原理に持ち込むことができます。

なお、はじめに「x > 0」と断っているのは、① x が 0 ではないので x で割っても OK、② x が正なので割っても不等号が逆転しない、ことを言うためです。

sin と cos の値域を利用してはさみうち!

最後にポイントをまとめておきます。

三角関数の極限の公式が使えないときは「はさみうちの原理」で対抗!のまとめ(1)

三角関数の極限の公式が使えないときは「はさみうちの原理」で対抗!のまとめ(2)

三角関数の極限の問題は、公式がダメならはさみうちの原理、このアプローチを是非身につけておいてください。

今回は以上です。

今回も最後まで読んでいただきありがとうございました!