関数の対称移動は x か y にマイナスをつける!理由と演習問題の解説!

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★☆☆

今回は関数の対称移動について解説します。

なお、セットで押さえておきたい関数の平行移動については次の記事をご参照ください。

基本的な内容ですが、無意識的に活用できるように理解&演習しておきましょう!

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点の対称移動

関数の話に入る前に、まずはより簡単な点の対称移動について考えてみましょう。

例として、点(2, 1)を対称移動してみます。

x 軸に関して対称移動すると(2, -1)

y 軸に関して対称移動すると(-2, 1)

原点に関して対称移動すると(-2, -1)

となります。

頭の中でグラフを思い描けば容易に納得できるはずです。

この結果から、一般的に次のことが言えます。

点の対称移動

対称移動が

x 軸に関してなら y 座標に
y 軸に関してなら x 座標に
原点に関してなら x、y 座標に

マイナスをつける

関数の対称移動

次にいよいよ関数の対称移動の話に入りますが、関数(直線や曲線)と言っても所詮は点のつながったものですから、上記の原理がそのまま当てはまります。

つまり、次のとおりです。

関数の対称移動

対称移動が

x 軸に関してなら y に
y 軸に関してなら x に
原点に関してなら x、y に

マイナスをつける

たったこれだけです。

なお、関数を y = f(x) と表記する場合は次のようにも書けます。

上と全く同じことを言っているので、新たに公式的に覚える類のものではありません。

関数 y = f(x) の対称移動

関数 y = f(x) を対称移動した後の関数は

x 軸に関してなら -y = f(x)
y 軸に関してなら y = f(-x)
原点に関してなら -y = f(-x)

問題に挑戦!

それでは実際の問題を見てみましょう。

定期テストに出そうな簡単な問題です。

なお「^2」は「2乗」の意味です。

問題

次の各問に答えよ。
1. 関数 y = 3x^2-2x+7 を x 軸に関して対称移動した後の関数を求めよ。
2. 関数 y = 3x^2-2x+7 を y 軸に関して対称移動した後の関数を求めよ。
3. 原点に関して対称移動して y = -x^2+9x-2 になる関数を求めよ。

<解説>

1番は x 軸対称なので y にマイナスをつけます。

「-y = 3x^2-2x+7」、y = に直して「y = -3x^2+2x-7」が答えです。

2番は y 軸対称なので x にマイナスをつけます。

「y = 3(-x)^2-2(-x)+7」、整理して「y = 3x^2+2x+7」が答えです。

<注意>
すべての x にマイナスをつける、2乗などの場合は中身にマイナスをつける、ことに注意しましょう。

3番は与えられた関数を逆に原点に関して対称移動させてやれば良いでしょう。

原点対称の場合は x と y にマイナスをつけるのでした。

「-y = -(-x)^2+9(-x)-2」、整理して「y = x^2+9x+2」が答えです。

まとめ

今回の記事ではあえて図を描きませんでした。

関数の対称移動は x か y にマイナスをつけるだけ、基本的には式のみで解決できることを実感していただきたかったからです。

最後にもう一度ポイントを、いつも通り単語カードにまとめておきたいと思います。

ちなみにですが青字で書いたように「別の文字にマイナス」と覚えておくのも楽かなと思います。

(原点対称は x 軸対称かつ y 軸対称ということですから、y にも x にもマイナスをつけます。)

関数の対称移動のポイントのまとめ(1)

関数の対称移動のポイントのまとめ(2)

今回は以上です。

最後までお付き合いいただきありがとうございました!