マイヤーの関係式(Mayer’s relation)とは?第一法則から導出してみよう

難易度:★★☆☆
頻出度:★☆☆☆

今回は「熱力学の第一法則」のおさらいを兼ねて、「マイヤーの関係式」を導出したいと思います。

なお「熱力学の第一法則」の使い方については次の2つの記事で詳しく解説していますので、是非ご確認ください。

それでは今回も最後までどうぞよろしくお願いします。

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マイヤーの関係式とは

「マイヤーの関係式」は理想気体の定圧モル比熱と定積モル比熱との間の関係式で、次のように書けます。

マイヤーの関係式とは

マイヤーの関係式

この関係式は理想気体で厳密に成り立ちます(実在気体では近似的に成り立ちます)。

この関係式は2つのことを意味していますね。

定圧モル比熱の方が定積モル比熱より大きいということ、そして定圧モル比熱と定積モル比熱の差が気体定数になるということです。

問題に挑戦!

それでは次の問題を解きながら、この関係式を導出してみましょう。

(大学の物理化学ではエンタルピーやら微分やらで難しく導出します(定期試験で頻出!)が、今回は高校物理の範囲でシンプルに導いてみます。

マイヤーの関係式を導出する問題

冒頭でリンクを貼った2つの記事で扱った「熱力学の第一法則」の使い方を復習しながら解説します。

理想気体の状態方程式も出てきますよ!

※化学の記事ではありますが、状態方程式については次の記事も参考にしてみてください。

<解答>

熱力学の第一法則を書いて、Qin、ΔU、Wout をそれぞれ式で表します。

Qin は「nCpΔT」(定圧変化なので Cp を使います)、ΔU は「nCvΔT」(こちらはいつでも Cv を使うのでした)と書けます。

また Wout は p-Vグラフ の面積から「pΔV」と求められます。

あとは「pΔV」を状態方程式を使って書き換えて、第一法則の両辺を nΔT で割れば「マイヤーの関係式」の完成です。

マイヤーの関係式を導出する問題の解答解説

といった感じで「マイヤーの関係式」が導出できました!

使用機会はそれほど多くないかもしれませんが、重要な式ですので、是非式の形も導出過程も覚えておきましょう。

単原子分子の定積モル比熱は定数!

最後に、この「マイヤーの関係式」を使って、単原子分子(理想)気体の定圧モル比熱を求めてみましょう。

まず冒頭でリンクを示した前回の記事で説明したとおり、単原子分子の定積モル比熱は次のように与えられます。

単原子分子気体の定積モル比熱は?

単原子分子気体の定積モル比熱は3R/2

 

これを「マイヤーの関係式」に当てはめると、単原子分子の定圧モル比熱 Cp は「5R/2」 と求められます。

この値は「マイヤーの関係式」と上の定積モル比熱の値「Cv = 3R/2」を知っていればその場で導き出せますので、無理に暗記する必要はありません。

さて、3回にわたって「熱力学の第一法則」関連の話を取り上げてきましたが、いかがだったでしょうか。

是非しっかり復習していただき、この法則を使いこなせるようになっていただきたいと思います。

今回も最後まで読んでいただきありがとうございました!