斜方投射の問題の簡単な解き方:鉛直と水平を時刻でつなげ!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★☆☆

当ブログではこれまで、物理の力学分野の「落体の運動」として、自由落下鉛直投げ下ろし水平投射鉛直投げ上げを取り上げてきました。

そして今回は最後の1つ(今後追加することがあるかもしれませんが)、斜方投射について解説します。

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斜方投射とは

文字どおり物体を斜め上方向に投げることを斜方投射といい、斜方投射された後の物体の運動が問題にされます。

水平投射同様に二次元の運動になるので難易度は高めですが、鉛直方向と水平方向を別々に考えれば大丈夫です。

斜方投射の鉛直方向は鉛直投げ上げ

斜方投射は鉛直方向だけ見れば鉛直投げ上げ運動です。

言い換えると、初速度の鉛直成分が鉛直上向きで、投射後は重力に起因して鉛直下方向に一定の加速度(= 重力加速度 g)が生じる等加速度直線運動です。

この記事で解説したとおり、鉛直投げ上げ運動は鉛直上方向を正方向にとり、v-tグラフ を描いて解くのが簡単です。

そうすれば煩わしい等加速度直線運動の公式は使わないで済みます。

後の例題で実際のグラフをご確認ください。

なお、v-tグラフ について詳しくは次の記事を参考にしていただければと思います。

v-tグラフ の「傾きが加速度、面積が変位」となることを説明しています。

斜方投射の水平方向は等速直線運動

斜方投射された後の物体に水平方向の力は働かないので、水平方向は等速直線運動となります。

初速度の水平成分の速度で一定となるわけです。

鉛直方向と水平方向をつなぐのは時刻

さて、鉛直方向の v-tグラフ からは、最高点に到達するときの時刻や地面に戻ってくるときの時刻(地面から投射した場合)などを求めることができます。

そしてこれら時刻から投射時刻(普通はゼロ)を引いた所要時間に初速度の水平成分を掛ければ、それぞれ最高点までの水平距離や地面に戻ってくるまでに水平方向に移動した距離を計算できます。

鉛直方向と水平方向を別々に考えながらも、両者は常に時刻というパラメータでリンクしているということを意識しておくことが大事です。

問題に挑戦!

それでは斜方投射の例題を見てみましょう。

ベーシックな問題ですが、鉛直方向の v-tグラフ から所要時間を求める、そして水平方向の移動距離を算出する、という流れを確認していただきたいと思います。

問題

初速度 v0 [m/s]、地面からのなす角 θ で、小球を地面から斜方投射した。
最高点の高さ [m] および、再び地面に達するまでに水平方向に移動した距離 [m] を求めよ。
ただし重力加速度は g [m/s2] とする。

<解説>

物理ではどんなに簡単な問題でも、必ず図を描くことが大切だと思います。

本問でも、物体の放物運動の様子を描いて、時刻・速度・移動距離を設定しつつ書き込んでいきます。

解答の流れを考えながら図を描くと、後の解答作成がスムーズになるでしょう。

また、図を描く際は鉛直・水平の両方向とも軸の正方向を定めておきましょう

前述のとおり鉛直方向は鉛直投げ上げなので、鉛直上向きを正にとるのが基本です。

水平方向はもちろん物体が飛んでいく方向を正にとります。

斜方投射の例題の解答 Part.1 まずは図を描く

図が描けて、問題文の状況や何を求めるのか、などをイメージできたら、早速鉛直方向の v-tグラフ を描きます。

この場合は鉛直投げ上げの v-t グラフ と全く同様に、vy 切片(初速度の鉛直成分 vy0)から傾き -g の直線を引きます(鉛直上向きが正なので vy0 も正です)。

v-tグラフ の傾きが加速度になるからです。

また、上昇中と下降中の対称性から、最高点(時刻 t1 の点)を境に点対称なグラフが完成し、物体が再び地面に戻ってきたときの速度の鉛直成分 vy2-vy0(初速度の鉛直成分と速度の大きさ(=速さ)は同じで向きが逆、鉛直上向きを正としているので負の値)となります。

斜方投射の例題の解答 Part.2 鉛直方向は v-tグラフ の出番

さて最高点では速度の鉛直成分が 0 となるので、時刻 t1 で最高点を迎えます。

それまでに物体が上昇した高さは、グラフ中で薄いオレンジ色で塗った三角形の面積(+H)です。

v-tグラフ の面積が変位となるからです。

t1 はグラフの直線の式から容易に求められる(①式)ので、H の計算も簡単です(③式)。

最後に vy0v0×sinθ を代入するのを忘れないようにしましょう。

そして物体が再び地面に戻ったときの時刻 t2 はグラフの対称性から t1 の2倍と分かります(②式)。

水平方向は初速度の水平成分 vx0 で等速なので、水平方向の移動距離 L はこの t2vx0 に掛ければ求められます(④式)。

ここでも最後に vy0 = v0×sinθvx0 = v0×cosθ を代入するのを忘れないようにしましょう。

なお、L の答えの式は、2sinθcosθ = sin2θ(三角関数の2倍角の公式の逆)を使って少し短くしても良いでしょう。

ちなみにこの式変形をすると次のメモのように考察できます。

<メモ>
L の答えの式を θ の関数と見て、sin2θ = 1(sin の最大値)となる θ を求めると、2θ = π/2 より、θ = π/4(45°)となります。
つまり地面に戻るまでの水平方向の移動距離 L が最大になるのは、45° で投射したときです。
この結果は私たちの感覚と一致していますよね。

まとめ

最後にまとめです。

少々複雑に見える斜方投射ですが、鉛直と水平の2方向に分解すれば十分太刀打ちできます。

鉛直方向は鉛直投げ上げそのものなので v-t グラフが有効で、水平方向は単純な等速直線運動です。

斜方投射のポイントまとめ(1)

斜方投射のポイントまとめ(2)

と、まとめたところで今回はおしまいとなります。

いつも最後まで読んでくださってありがとうございます。

また次回お会いしましょう!