確率が苦手な人へ、大原則を知っておこう!

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★★☆

いきなりですが、確率は苦手な学生が多い分野です。

一方で、感覚で簡単に解けてしまう人もいて、なんだか数学の中でも異質な分野ですよね。

今回はそんな確率の大原則を強調します!

確率が苦手な人も、なんとなくで解けている人も、大得意の人も、この大原則は一度おさらいしておきましょう。

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確率の大原則は「同じものもすべて区別する」

確率を計算する際には「全事象中のどの根元事象も同様に確からしいとき」という前提があります。

ですが、これって訳わからない表現ですよね。

少し言葉を変えると、「起こり得るすべてのケースについて、どのケースが起こることも同程度に期待できるとき」確率が計算できるということです。

例としてサイコロを1回振ることを考えます。

起こり得るすべてのケースは「1が出る、2が出る、、、6が出る」の6つのケースで、どの目が出るのも同程度に期待できますよね。

このような前提が成り立つ場合にのみ確率を計算できるのです。

さて、確率の問題では、同じ色の玉だったり、同じ記号だったり、同じクジだったり、同じサイコロだったり、、、が問題文に出てくることがよくありますよね。

そういうときに注意してほしい大原則があります。

それは「同じものもすべて区別する」ということです。

どういうことか次の例題で詳しく説明します。

問題に挑戦してこの大原則を理解しよう!

非常に簡単な問題ですが、ちょっと考えてみてください。

問題

表に「A」と書かれたカードが2枚、「B」と書かれたカードが2枚ある。
これら計4枚のカードを裏返してシャッフルし、2枚を選ぶ。
「A」のカードと「B」のカードが1枚ずつ選ばれる確率を求めよ。

先ほどの大原則を無視すると次のような誤った解答になってしまいます。

<誤った解答>

全てのパターンは、(AA)、(AB)、(BB)なので、求める確率は 1/3

一見正しそうですが、何がいけないのでしょうか。

答えは単純で、同じアルファベットのカードを区別しなかったことです。

<正しい解答>

では今度は同じアルファベットのカードを区別して全パターン数えてみましょう。

ここで、「数え上げ」は自分でルールを決めて重複や漏れのないように、を是非心がけてください。

次の解答では樹形図を使って数えています。

確率の大原則(同じものもすべて区別して考える)の例題の解答

このように全パターンを書き出してみると、先の誤った解答中の、

AA)は1通り

AB)は4通り

BB)は1通り

あり、これら3パターンが起こることは同程度に期待できません(同様に確からしくない)。

よって1つ目の解答は確率の前提が崩れており、間違いとなります。

続いて参考として、組み合わせ C(combination)を使った別解を下に示しておきます。

この場合ももちろんすべてのカードを区別して考えます。

確率の大原則(同じものもすべて区別して考える)の例題の別解

これくらい全パターン数が少ない問題なら、数え上げた方が早いかもしれませんね。

まとめ

最後にまとめです。

今回は確率の大原則である、「同じものもすべて区別する」ことについて、例題で説明しました。

いつもどおり最後に単語カードに要点をまとめます。

例題では「アルファベットが書かれたカード」が出てきましたが、ここでは入試でよく見る「色付きの玉」の例を書いておきました。

確率の大原則のまとめ(同じものもすべて区別する)(1)

確率の大原則のまとめ(同じものもすべて区別する)(2)

今回は少し短めですがここまでです。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

少し物足りない方もいらっしゃったかもしれませんので、次回は少し難しめの問題を扱い、期待値について解説します。

次回もどうぞよろしくお願いします!