等差数列の和の公式は図形で理解しておこう!

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★★☆

今回は、最も基本的な数列である等差数列について和の求め方を図的に説明します。

まずは等差数列の定義と一般項をおさらいしておきましょう。

一般項とは数列の第n項をnの式で表した式のことで、数列の種々の問題を解く上ではじめに必ず求めておくべきものです。

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等差数列の定義と一般項の求め方

等差数列ははじめの数(初項)に一定の数(公差)を足していってできる数列で、その定義と一般項は次のとおりです。

等差数列の定義と一般項

定義は「第n項に公差dを足すと第n+1項になる

一般項は「初項に公差dを(n-1)個足すと第n項になる

と、シンプルで理解しやすい形です。

※一般項について、公差dの係数はnではないので注意しましょう。いわゆる植木算になるので、初項から第n項に至るまでには、dを(n-1)個足します。

このように等差数列の一般項は初項と公差が決まれば決定するので、一般項を求めるには初項と公差を求めればOKです。

等差数列の和の公式は図で理解しよう!

さて、等差数列の和はどのように求まるのでしょうか。

初項 a、公差 d、項数 n、末項 l の等差数列の和 S を求めるために、次の図のようにこの等差数列をとらえてみましょう。

つまり、各項の数値を縦の長さにもち、横の長さ1の長方形の集団として考えるのです。

等差数列を図形で考える

このように、等差数列は無数の長方形でできた階段状の図形として図的に表せます(階段の段差が公差 d になっていることに注意しましょう)。

このとき、各長方形の面積は、横の長さが1なので縦の長さの数値と等しくなります。

なので、各長方形の面積の合計、つまりこの階段状の図形の面積を求めれば、それは等差数列の和 S と一致します。

ということで、この階段状の図形の面積を求めますが、簡単な求め方は次のとおりです。

等差数列の和を図形的に求める

このように、同じ図形を上下左右ひっくり返して上から合体させることにより、大きな長方形を作ります

この大きい長方形の面積は「縦(a+l)× 横(n)」と簡単に計算できますので、これを1/2すれば、それが階段状の図形の面積、つまり等差数列の和 S になります。

※中学入試の勉強でこの方法を見たことがある方も多いかと思います。

以上の議論から、一般に等差数列の和は、

「初項と公差を足し、項数をかけて1/2する」

ことで求められる!と分かりました。

この図的な求め方を理解していれば、等差数列の和の公式を暗記する必要はありません。

等差数列の一般項と和の求め方のまとめ

ではここまでの内容をまとめておきましょう。

等差数列の一般項と和のまとめ

等差数列の一般項と和のまとめ(数式)

その他、等差数列について覚えておきたいこと2つ

最後に、等差数列について意識しておくと役に立つことを紹介します。

第n+1項と第n項の差

一点目は、等差数列の定義より、「二項の差、特に第n+1項と第n項の差は公差で一定」ということです。

このことは、与えられた数列が等差数列であることを証明する手段として使うことがあるので、是非覚えておいてください。

等差中項

数列 a, b, c がこの順に等差数列をなすとき、中央の数 b は両端の数 a, c の等差中項と呼ばれます。

b は a, c の平均なので、b = (a+c)/2 となり、これを変形して 2b = a+c となります。

この関係式も使う機会が多い式ですので、押さえておきましょう。

今回は以上となります。お疲れさまでした!