「同じものを含む順列」の公式便利すぎ!原理を理解して使いこなそう!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★★☆

「場合の数・確率」は考え方が重要な分野です。

同じものを含む順列」も例外ではなく、その公式は非常に有用で使いこなせるようになれば様々な問題を解けるようになりますが、やはりその原理を理解することが大切です。

ということで今回は、「同じものを含む順列」の概要と公式を考え方に重きを置いて紹介し、標準的な例題を解説します。

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同じものを含む順列の公式

いくつかのものを1列に並べる場合の数(順列)において、同じものが含まれているとき、「同じものを含む順列」と言います。

名前そのままです。

一般的な場合を考えて、その公式を導出してみましょう。

下の図をご覧になりながら読んでいただければと思います。

同じものを含む順列の公式の導出(原理)

n 個のものを1列に並べることを考えます。

n 個のうち、同じものが p 個(図中、また別の同じものが q 個(図中)、・・・あるとします。

全部で何通りの並べ方があるでしょうか。

はじめにすべてが異なるものであると仮定して、それら n 個を1列に並べる場合を考えます。

その場合の数は n の階乗、n! 通りです。

この n! 通りの中で、p 個の赤には本当は区別がないわけですから、赤の並び順のみが異なる p! 通りは実際は同じ並び方となります。

なので n! を p! で割らなければいけません。

q 個の青についても同様で、青の並び順のみが異なる q! 通りは実際は同じ並び方となります。

よって同様に n! を q! で除する必要があります。

・・・

といった具合で、同じもの▲個について ▲! 通りは重複するので、▲! で n! を割る必要があります。

以上のことから図中でオレンジ枠で囲った「同じものを含む順列」の公式が導かれます。

これは非常に便利な公式なので必ず覚えておくべきです。

また、ここまで述べてきた考え方・原理を理解しておくことはもっと重要です。

考え方を身に付けておけば応用も効きますよ!

<メモ>
この公式の導出や記述の仕方には他にもバリエーションがあります。
ですが個人的には上記の導出・記述がオススメです。
それはこの考え方が一番応用が効くと思うからです。
他のサイトや参考書等と読み比べていただき、ご自身に合うものを選択してください。

問題に挑戦!

それではこの公式・考え方を使って、次の問題を解いてみましょう。

よくある標準的な問題なので、是非実際に紙に書いて考えてみてください。

もちろん後の解説を読むだけでも勉強効果アリです!

問題

「 A C C E S S 」の6文字を1列に並べて文字列をつくる。
(1) 文字列は全部で何通りできるか。
(2) A と E がこの順に並ぶ文字列は何通りできるか。

<解答>

(1)は公式をそのまま適用すればOKです。

C 2個、S 2個がそれぞれ「同じもの」です。

(2)はいくつかのものの「並べる順番が決まっている」という典型的な問題です。

(必ずしも隣り合わせ(連続)でなくても良いことに注意しましょう。)

順番が決まっているものを同じもの(下図中の〇)とみなして並べ、後から〇にその順番で入れる、という定石を使います。

同じものを含む順列の例題の解答

いかがだったでしょうか。

シンプルでよく見る問題ですが、「同じものを含む順列」と「並べる順番が決まっている順列」のエッセンスは詰まっていると思います。

まとめ

最後にいつも通り単語カードのまとめです。

「同じものを含む順列」の公式は汎用性が高く便利なので、使いこなせるようにしておきたいところです。

原理から押さえておくことで、納得しながら公式を使って問題をどんどん解いていきましょう!

同じものを含む順列のポイントのまとめ(1)

同じものを含む順列のポイントのまとめ(2)

といったところで今回は以上です。

いつも最後まで読んでいただきありがとうございます。

次回も是非、よろしくお願いします!