「Σ の中の k 乗」の2パターン(Σ を分離する、公比を掛けてずらして引く)

難易度:★★☆☆
頻出度:★★★☆

今回のテーマは数列の Σ 計算です。

Σ の中に k 乗が含まれる場合の計算方法について解説します。

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「Σ の中の k 乗」の正体

Σ の公式は普通、

Σ(定数)

Σk

Σ(k の2乗)

Σ(k の3乗)

の4つなので、Σ の中に k 乗などがあると一瞬どうしたらよいか迷ってしまいがちです。

そんなときは Σ の公式はいったん忘れ、k に1から順に数字を代入していくことで、実際に Σ が表す数列の和を書き並べてみましょう。

そうすれば k 乗の場合は等比数列だとすぐに分かるはずです。

となれば、後は等比数列の和の公式を適用するだけです。

問題に挑戦!

それでは具体的に例題を見てみましょう。

Σ の中に k 乗が含まれるケースの中で、特に基本かつ重要となる2パターンを解説します。

Σ の中に k 乗がある例題(2パターン)

<解答・解説>

(1)

Σ の中に k 乗がある例題(2パターン)の解答1

(1)は比較的簡単です。

Σ 計算の性質から、和や差は Σ を分離できます

分離後の1つ目の項は Σk なので単純に Σ の公式が適用できます。

2つ目の項には k 乗(今回は k-1 乗ですが)があるので等比数列の和の公式の出番です。

初項、公比、項数を間違えないように公式に代入しましょう。

迷ったら実際に、k に1から順に代入して書き並べてみると良いでしょう。

(2)

Σ の中に k 乗がある例題(2パターン)の解答2

こちらの解法が非常に重要で定期テストや入試によく出ます。

前問と異なり Σ の中身が掛け算になっているので、Σ の分離ができません。

本問のように (等差)×(等比) になっている場合は有名なうまい方法が使えます。

まずは後の計算で見やすいように求める和を S と置いておきます。

次に S を実際に書き並べます。

ここまで何度か出てきたように、やはり「書き並べ」は大切ですね。

そして次の操作が肝です。

S公比を掛けたものを同様に書き並べて S の式の下に1つ分ずらして置きます

そして上の式から下の式を、つまり S から (公比S を引きます

するとはじめの (等差)×(等比) の (等差) の効果が消え、等比数列の和の公式が適用できます。

後はガリガリ計算するだけですが、ここで注意点が3つあります。

1つ目、等比数列の和の公式を適用するとき、多くの場合、引いてできた式のはじめの項は除外されます

しかし本問のようにはじめの項も含めることができる場合もあるので、臨機応変にいきましょう。

はじめの項は必ず除外する、と公式的に覚えてほしくないので、今回はあえてはじめの項も含まれるパターンの例題を取り上げました。

2つ目、最後の項の前にはマイナスがつくことに注意しましょう。

当たり前のことですが、意外とプラスにしてしまいがちです。

3つ目、ラストで S= にするのを忘れないようにしましょう。

これまた当たり前のことですが、意外と等比数列の和の公式を適用して満足して終わりにしてしまいがちです。

計算ミスが多い解法でもありますので、以上3点の注意点も意識しつつ、完答を目指しましょう!

<メモ>
この手法は等比数列の和の公式の証明方法と同様です。

まとめ

最後に今回のまとめです。

Σ の中に k 乗があるとひるんでしまいがちですが、正体は単なる等比数列です。

Σ が分離できるときは分離して Σ の公式や等比数列の和の公式を使いましょう。

(等差)×(等比) の場合は「S とおいて公比を掛けてずらして引く」という定石を使います。

計算ミスにだけ注意しましょう。

以上のことをいつもどおり単語カードにもまとめておきます。

「Σ の中の k 乗」2パターンの求め方まとめ(1)

「Σ の中の k 乗」2パターンの求め方まとめ(2)

今回はここまでです。

最後までお付き合いいただきありがとうございました!