弦の固有振動は両端固定端だから簡単!弦を伝わる波の速さの式だけ覚えておこう!

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★☆☆

今回のテーマは弦の固有振動です。

どういう条件で弦が固有振動するのか、弦を伝わる波の速さはどんな式で表されるのか、こういったことを図や例題を使いながら解説していきます。

なお弦の固有振動は、気柱の共鳴と併せて、また比較しながら勉強するのが有効なので、次の記事も(出来ればこの記事の前に)是非ご一読ください。

弦の固有振動の方が気柱の共鳴より断然イメージしやすく簡単なので、張り切っていきましょう!

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弦の固有振動とは

ウクレレなどの弦楽器を想像してください。

弦をピンと張って少しはじくと、少しはじいただけなのに大きな音がでることがあります。

これははじいたときにできた波が弦の両端で反射し、反射波と元の波が重なり合って定常波が生じるからです。

このときの振動を弦の固有振動と言います。

両端固定端

それでは次の図で弦にできる定常波の形を見ていきましょう。

弦の固有振動の説明図

気柱の共鳴では開管と閉管で端の条件(端が自由端か固定端か)が異なっていましたが、弦の固有振動ではいたってシンプルです。

弦の両端は固定されていますので、文字通り固定端となります。

よって両端は定常波のとなり、この条件を満たす振動数を与えたときに定常波が生じます。

上図に基本振動から3倍振動までを描きましたが、気柱の共鳴と同様に、波長の式や固有振動数の式を覚える必要は全くありません。

両端固定端)ということさえ押さえておけば、その場で定常波の図を描いて、弦の長さから波長、波長から固有振動数、と簡単に求められるからです。

弦を伝わる波の速さの式

さて、気柱の共鳴では波の速さとして空気中での音速 V を用いました。

弦の場合は、弦を伝わる波の速さを求める式として次のものが知られています。

これは知識として覚えておきましょう。

弦を伝わる波の速さの式

弦を伝わる波の速さは弦の張力(どれくらいピンと張っているか)と線密度(弦の重さ)で決まるということです。

線密度は少しイメージしづらいかもしれません。

弦をメジャーで測り、1 m のところでチョキンと切って重さを測れば、それが線密度になります(実際はそんな求め方はしませんが)。

【注意】弦を伝わる波は横波

ここで注意点です。

気柱の共鳴で対象とする波は音波なので縦波でしたが、弦を伝わる波は横波です。

横波なので弦を伝わる波に疎密はありません。

縦波と横波については次の記事を参考にしていただければと思います。

問題に挑戦!

以上が弦の固有振動の基本事項です。

気柱の共鳴と比べるとかなりライトな印象ですよね。

いつもどおりここまでの内容を復習する例題を用意しましたので、お時間のあるときに是非挑戦してみてください。

弦の固有振動の例題

<解説>

まずは3倍振動の波の様子を描画します。

両端固定端)ということさえ意識すれば簡単に描けますよね。

次に図から波長 λ を、そして前述の式から弦を伝わる波の速さ v を求めます。

本問では弦の張力はおもりに働く重力と同じ大きさ(mg)です。

あとは波の基本式「v=fλ」に代入して f を求めればフィニッシュです。

弦の固有振動の例題の解答

まとめ

最後に今回のテーマのまとめです。

弦の固有振動については、両端固定端)という端の条件と、弦を伝わる波の速さの式を覚えておけば必要十分です。

一応単語カードにもまとめておきました。

弦の固有振動のポイント(1)

弦の固有振動のポイント(2)(両端固定端と弦を伝わる波の速さの式)

今回は以上です。

いつも最後まで読んでいただきありがとうございます!