解と係数の関係は逆に使えて一人前!なことを例題で解説

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★★☆

2次方程式の解と係数の関係は高校数学の中でも特に重要な関係式です。

この関係式は、ただ公式として覚えるだけでなく、どういう場面で使えるかを覚えておくと応用がききます。

特に「和と積」に着目して「逆に」使えると解法の幅が広がります。

今回はこの辺りの話を例題も使いながら解説していきます。

スポンサーリンク

解と係数の関係とは?

はじめに解と係数の関係をおさらいしておきましょう。

次の図の上段が解と係数の関係です。

解と係数の関係を逆に使うことについての説明

解と係数の関係は解の公式から簡単に導き出すことができます。

なお、重解(α = β)の場合も解と係数の関係は成立します。

解と係数の関係を用いると、解を実際に計算で求めなくても種々の問題を解くことができます。

例えば、解と係数の関係で基本対称式 α+β と αβ の値を求めて、それらを使って対称式(α と β を入れ替えても変わらない式)の値を求める問題は頻出ですよね。

解と係数の関係を逆に使う

さて、解と係数の関係はそのままでもなかなかに便利な関係式ではありますが、逆に使いこなせるようになると、応用の幅が広がりさらに強力な武器になります

さきほどの図の下段をご覧ください。

解と係数の関係を逆に考えれば、和と積が既知の2数を解とする2次方程式(の1つ)をつくることができます

※ x の係数にマイナスがつくことに注意しましょう。

※ (の1つ)と表現したのは、両辺を定数倍した2次方程式の解も同一になるからです。しかし通常は気にする必要はありません。

このことを用いると楽に解ける問題がかなりありますし、もっと言えばこのことを用いないと計算が煩雑になって解き切るのが難しい問題もあります。

ポイントは「和と積」に着目することです。

「和と積」を見つけたら解と係数の関係を逆に使って2次方程式をつくってみる、この方針を立てられるようにしておきましょう!

問題に挑戦!

それではここで例題を見てみましょう。

簡単な問題ですが、是非実際に紙に書いて計算してみてください。

2通りで解けると very good です。

解と係数の関係を逆に使う例題(連立方程式)

<解答>

x と y の「和と積」が与えられているので、解と係数の関係を逆に使って、x と y を解とする2次方程式をつくります。

後は解の公式を使えば終了です。

与えられた条件、x > y に注意しましょう。

解と係数の関係を逆に使う例題の解答(1)

<別解>

一般に文字(変数)は少なければ少ないほど良いので、条件式を使って文字を減らすのは常套手段です。

「x + y = 7」を y について整理して「xy = 3」に代入することで y を消去します。

結局、先ほどの解答と同じ2次方程式を解くことになります。

解と係数の関係を逆に使う例題の解答(2)

まとめ

最後にまとめです。

「和と積」を見つけたら、解と係数の関係を逆に使うことを考えてみてください

もちろん有効でないときもありますが、アプローチの1つとして身に付けておきましょう。

数学では解法の引き出しの多さが重要になりますよ!

単語カードに今回のポイントを書いておきましたので、少しでも参考になれば幸いです。

「和と積」から解と係数の関係を逆に使う方法のまとめ(1)

「和と積」から解と係数の関係を逆に使う方法のまとめ(2)

今回はここまでです。

最後まで読んでいただきありがとうございました!