数列の和から一般項を求める方法:初項が含まれるかどうか

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★☆☆

今回は数学の数列分野からの投稿です。

和の式 Sn から一般項 an を求める方法について解説します。

難しい考え方を必要としないので、定期テストでよく出題されます。

はじめの説明は飛ばして、すぐに例題に挑戦していただいても大丈夫です。

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数列の和と一般項の関係

そもそも数列の一般項とは、第 n 項のことです。

第 n 項を和の式から求めるには、「第 n 項までの和」から「第 n-1 項までの和」を引けばOKです。

当たり前と言ってしまえばそれまでですが、意外とよく使う定石なので使いこなせるようにしておきましょう。

初項は仲間外れ

ここで注意しなくてはならないのは、この計算で第 n 項が求められるのは、n が2以上の場合だということです。

n = 1 とすると引く側が「第 0 項までの和」となってしまいますからね。

ということで n = 1 の場合、つまり初項は仲間外れです。

では初項は和からどう求めるのか、非常に簡単です。

「初項までの和」が初項に他ならないので、和の式に n = 1 を代入します。

まとめ

以上のことをいったんまとめておきます。

和の式から一般項を求めたいときは、初項は和の式に n = 1 を代入n ≧ 2 では「第 n 項までの和」から「第 n-1 項までの和」を引きます

この2本立ての解法は基本的ですが重要です。

しっかり覚えておきましょう。

いつもどおり単語カードにも書いておきました。

数列の和から一般項を求める方法のまとめ(1)

数列の和から一般項を求める方法のまとめ(2)

問題に挑戦!

それでは実際の例題を見てみましょう。

数列の和から一般項を求める例題

このように第 n 項までの和が n の二次方程式で与えられることが非常に多いです。

<解答・解説>

(1)、(2)共にやることは同じです。

必ず、まずは初項とそれ以外を分けて計算します。

数列の和から一般項を求める例題の解答(1)

このように(1)では、n ≧ 2 の式に n = 1 を代入してみると、初項の計算結果と合致します。

よって初項の結果を n ≧ 2 の式に統合して答えとします。

統合しないと減点になるかどうかは採点者次第ですが、統合できるときは統合して答えた方が無難です。

<注意!>

教科書に出てくる問題では統合できるケースがほとんどなので、いつでも統合できると誤解しがちで、統合できるかどうかの確認を怠りがちです。

次の(2)のように統合できないケースもありますので、必ず確認するように心がけましょう。

数列の和から一般項を求める例題の解答(2)

このように(2)では初項とそれ以外を統合できないので、別々のまま答えとします。

<補足>

本問のように第 n 項までの和が n の二次方程式で与えられる場合、n ≧ 2 の一般項の式に初項が統合できるかどうかは、二次方程式に定数項があるかないかで決まります。

(1)のように定数項がなければ統合でき、(2)のように定数項があると統合できません。

何故そうなるか、それほど難しい証明ではないので是非考えてみてください。

(ヒント:二次方程式を一般的な形で置いて全く同じ計算をします。)

今回は短めですが以上です。

最後まで読んでいただきありがとうございました!