v-tグラフを用いた等加速度直線運動の図解法!

難易度:★★☆☆
頻出度:★★★☆

前回の投稿では等加速度直線運動の公式を微積で導出し、それを使った問題の解説を行いました。

その最後に予告したとおり、今回はもっと便利でラクなツールを紹介します。

速度 v と時刻 t の関係を図にした「v-tグラフ」です。

今回紹介するv-tグラフのポイントは、等加速度直線運動に限らずどんな運動にも適用できますが、入試や定期テストでは等加速度直線運動に用いる場合が多いです。

スポンサーリンク

v-tグラフの何が便利なの?

位置 x 、速度 v 、加速度 a の定義は次のとおりでした。

位置、速度、加速度の定義

ここで、数学的手法としての微分はグラフの接線の傾きを求めることを意味し、積分はグラフの面積を求めることを意味します。

このことから、上図の定義より次のことが言えます。

v-tグラフの(接線の)傾きは加速度 a 、面積(積分値)は変位 Δx

この知識を用いると、等加速度直線運動の問題があっさり解けることがあります!

※ここでv-tグラフの面積が表すのは変位 Δx であり、位置 x ではないので注意です。この場合のグラフの面積は、ある時刻 t1 から別のある時刻 t2 までの定積分として計算されるので、求まるのは変位( x(t2)-x(t1) )となります。

※変位 Δx は位置 x の変化のことですが、位置がベクトル量であるのと同様に、変位もベクトル量で正負があるので注意しましょう。

v-tグラフのポイントのまとめ

上述のポイントをまとめます。

これを覚えて使いこなせるようになると、等加速度直線運動の問題が図的に楽しく解けるのでオススメです!

v-tグラフのポイント

v-tグラフの便利な点

問題に挑戦!

では前回と同じ問題を、v-tグラフを使って解いてみましょう。

等加速度直線運動の例題

2番だけは前回取り上げた等加速度直線運動の公式を使った方が早いですが、1番と3番はv-tグラフを用いれば簡単に解けます!

ではまず、問題の運動のv-tグラフを描いてみましょう。

例題の運動のv-tグラフ

等加速度直線運動の場合は、加速度つまりグラフの傾きが一定なので、このようにグラフは直線となります。

直線は通る二点が決まれば決定します。

今回は v軸切片(0, v0)と t軸切片(t1, 0)の二点を通ると分かっているので、直線が決定します。

前回も注意しましたが、加速度 a は未知数なので正の値として仮定します( -a と仮定しないこと!)

続いて1番と3番をこのグラフを用いて解いてみます。

等加速度直線運動の図的解法

いかがでしょうか。

このようにグラフの傾きを求めたり、三角形の面積の公式を使ってグラフの面積を求めたりすることで、等加速度直線運動のややこしい公式を使わずに答えが出せました。

個人的にはグラフで解く方法の方が視覚的に解けるので好みですが、人それぞれラクな方法、好きな方法があると思います。

公式を使う方法とグラフで解く方法の両方に習熟することで、問題に応じて素早い適切な解き方を選択して対処できるようになりますよ!

最後まで読んでいただきありがとうございました!