鉛直投げ下ろしに公式は必要ない!グラフを使えば楽しく解ける!

難易度:★☆☆☆
頻出度:★★☆☆

前回は自由落下の問題を等加速度直線運動の公式を使わずに解くとっておきの方法を紹介しました。

本記事の前に読んでいただくとより効果的ですので、是非よろしくお願いします。

そして今回は関連する運動として鉛直投げ下ろしを取り上げます。

前回説明した解法が鉛直投げ下ろしにも使えること、そして等加速度直線運動の公式よりも数段有効なことを強調していきたいと思います。

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鉛直投げ下ろしとは

鉛直投げ下ろしとは物体を高い所から真下に(鉛直下向きに)投げ下ろす運動のことです。

自由落下との違いは「初速度をつける」という点です。

同じ高さからの運動を考えれば、初速度を付ける分、当然自由落下よりも短時間で物体は地面に達します。

そして地面に到達する直前の速さも大きくなります。

<メモ>
鉛直(方向)とは地面または水平面と垂直な方向という意味です。
厳密には重力の方向(上向きを含めて)を指します。

鉛直投げ下ろし中の運動方程式と加速度

前述のとおり鉛直投げ下ろしと自由落下との違いは「初速度をつけるかどうか」なので、空中で運動中の物体にかかる力、物体の運動方程式、そして加速度は自由落下の場合と同様になります。

つまり空気抵抗を無視し鉛直下向きを正とすれば、かかる力は重力のみ、運動方程式は ma = mg加速度 a は g で一定となります( m は物体の質量 [kg]、g は重力加速度 [m/s2])。

ということで鉛直投げ下ろしも等加速度直線運動の一種です。

※空気抵抗を考えなくてはならない問題についてはこちら↓

やはり公式よりも v-t グラフ!

さて自由落下と同様に、鉛直投げ下ろしの問題に等加速度直線運動の公式を使うことはおすすめしません。

様々なご意見があるとは思いますが、個人的には本当にこの公式が嫌いなんです笑。

公式に当てはめて解く以上の面白さが物理にはあると思いますから。

では等加速度直線運動の公式の代わりに何を使うのかと言うと、v-tグラフ の出番です。

詳しくは下のリンク先の記事をご参照いただきたいと思いますが、ポイントはけっこうシンプルです。

v-tグラフ の傾きが加速度、面積積分値が変位となります。

自由落下および鉛直投げ下ろしでは加速度は重力加速度 g で一定でしたので、v-tグラフ の直線の傾きが g になります。

この後の例題で実際のグラフを示しますので是非ご確認ください。

また一般に変位は位置の変化(時間的に後の位置引くことの前の位置)のことで、負の値もとりえます

ですが自由落下や鉛直投げ下ろしでは、鉛直下方向を正方向とし、落下させる位置を原点ととれば変位は必ず正になります。

このこともこの後の例題の図でご確認いただければと思います。

問題に挑戦!

それでは鉛直投げ下ろしの v-tグラフ について、理解を深めるための例題を見てみましょう。

あえて「v-tグラフ を描くことで」と解き方を指定しています。

問題

高さ h [m] の建物の屋上から、小球を時刻 t = 0 s に速さ v = v0 [m/s] で鉛直下方向に投げ下ろした。
その後小球は t = t1 [s] に速さ v = v1 [m/s] で地面に達した。
v-tグラフ を描くことで v1 と h を t1、v0、g で表せ。
ただし重力加速度の大きさを g [m/s2] とする。

<解説>

最終的な答えは等加速度直線運動の公式に鉛直投げ下ろしの条件を代入したものになります。

なのでこの例題は、v-tグラフ さえあれば公式は不要なことの証明にもなると思います。

鉛直投げ下ろしの例題の解答

v-tグラフ を描く上で意識することは上で述べた2点のみです。

つまり「傾き = 加速度面積 = 変位」です。

自由落下では初速度が 0 なので、グラフは原点を通る傾き g の直線になりました。

一方、鉛直投げ下ろしでは縦軸 v の切片(数学で言うところの y 切片)初速度 v0 になります。

そして傾きは g で一定なので、上図のような直線が描けます。

あとはこのグラフを見ながら v1 と h を式にするだけです。

v1 が①式で表されるのは当たり前ですよね。

直線の式に「t = t1 で v = v1」という条件を代入しただけです。

そして建物の高さ、つまり小球の落下距離 h は v-tグラフ から台形の面積として簡単に求められます。

①式を用いて既知の文字だけの式にすれば、答えの②式の完成です。

いかがだったでしょうか。

このように(自由落下同様に)鉛直投げ下ろしも v-tグラフ でスマートに考えることができます。

こんなに便利な v-tグラフ を使わない手はないですよね!?

<もう少しコメント>
物理に限らず(化学や数学でも)グラフ解法や図解法を使うことは、視覚的に問題や現象を捉えることで、ひらめき力を高める訓練にもなると思います。
ということで公式よりもグラフが絶対おすすめです!

まとめ

最後にいつもどおり単語カードに要点をまとめておきます。

自由落下の記事でも書きましたが、v-tグラフ は問題ごとにその場でちゃちゃっと描けばよいので、形を覚える必要は全くありません。

鉛直投げ下ろしのポイントまとめ(1)

鉛直投げ下ろしのポイントまとめ(2)

ということで今回は鉛直投げ下ろしについて解説しました。

今回も最後まで読んでいただきありがとうございました!